Estudo das relações métricas no triângulo retângulo
Objetivos
- Identificar os elementos de um triângulo retângulo.
- Estabelecer as relações métricas e trigonométricas existentes em um triângulo retângulo.
- Utilizar o Teorema de Pitágoras como um procedimento de cálculo.
- Identificar os catetos adjacente e oposto de um ângulo.
Dois navios partem de um mesmo ponto, num mesmo instante, e viajam em direções que formam um ângulo reto. Depois de uma hora de viagem a distância entre os dois navios é de 13 milhas. Se um deles é 7 milhas mais rápido que o outro, determine a velocidade de cada navio.
ELEMENTOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO ABC
BC é a hipotenusa de medida a.AB é um cateto de medida c.
AC é um cateto de medida b.
AD é a altura relativa à hipotenusa; sua altura é indicada por h.
BD é a projeção ortogonal do cateto AB sobre a hipotenusa; sua medida é indicada por n.
DC é a projeção ortogonal do cateto AC sobre a hipotenusa; sua medida é indicada por m.
PRIMEIRA RELAÇÃO MÉTRICA
Observemos os triângulos semelhantes ABC e DBA, e escrevemos a proporção entre seus lados homólogos:
SEGUNDA RELAÇÃO MÉTRICA
Observando a proporção entre os lados homólogos dos triângulos semelhantes ABC e DBA, temos:
TERCEIRA RELAÇÃO MÉTRICA
Considerando os triângulos semelhantes DBA e DAC.
QUARTA RELAÇÃO MÉTRICA
Do triângulo retângulo ABC.
Da segunda relação métrica, vimos c² = a . n e b² = a . m, adicionando membro a membro essas duas igualdades: c² + b² = (a . n) + (a . m)
c² + b² = a ( n + m)
No triângulo temos que a = n + m
Substituindo (n + m) por a: c² + b² = a . a
c² + b² = a² ou a² = b² + c², ou seja o Teorema de Pitágoras.