Distâncias
Distância entre dois pontos
Qual é o caminho mais curto?
Se considerarmos dois pontos, A e B, sempre é possível tomar vários caminhos (trajetórias) para ligá-los.
Na imagem abaixo, cada linha A com B tem um comprimento. Qual é o caminho mais curto para ir de A até B?
O caminho mais curto para ir de A até B é o segmento de reta AB. Sua medida é chamada distância entre dois pontos entre os pontos A e B.
A distância entre dois pontos A e B quaisquer do plano, tais que A(X1, Y1) e B(X2, Y2), é dada por:
Encontre a distância entre os pontos A(-6,4) e B(2,1).
x1=-6 e y1=4
x2=2 e y2= 1
d(A, B) = √(x2 – x1)² + (y2 - y1)²=√(2-(-6))²+(1-4)²=√73
Distância entre um ponto e uma reta
Qual é o segmento mais curto?
O mais curto dos segmentos que ligam P a um ponto da reta r é o segmento PC, já que a reta PC é perpendicular à reta r. A medida do segmento PC é chamada distância entre o ponto P e a reta r.
Logo, a distância de um ponto (P) e uma reta r é a medida do segmento de extremidades em P e C, onde C é a projeção ortogonal de P sobre r.
Exemplo
Determine a distância entre o ponto A(3,5) e a reta r, de equação x + 2y - 8 = 0.
Resolução
Calculamos o coeficiente angular de r:
x + 2y - 8 = 0 => 2y = -x + 8 => y= -1/2x+4
m = - 1/2
Equação da reta s:
m1 = - 1/m = - 1 = 2
-1/2
y - y1 = m1(x - x1) => y - 5 = 2(x - 3) => y - 5 = 2x - 6 => 2x - y -1 = 0 (equação geral da reta)
Coordenadas de A: são aquelas do ponto de encontro de r e s:
{ x + 2y - 8 = 0
{2x - y - 1 = 0 (.2) (resolvendo o sistema pelo método da adição)
Temos: 5x - 10 = 0 => 5x = 10 => x = 2
Substituindo na segunda equação, temos:
2(2) - y - 1 = 0 => y = 3
Portanto, A'(2,3)
Cálculo da distância entre A e A':
d= √(3 - 2)² + (5 - 3)² = √5
Logo, a distância entre o ponto A e a reta r é √5.
Distância entre duas retas paralelas
Se tomarmos em r dois pontos quaisquer, A e B, notaremos que a distância entre A e s (dada pelo segmento AX) é igual à distância entre B e s (dada pelo segmento BY). AX = BY
A medida de AX (ou de BY) é a distância entre as retas r e s.
Distância entre dois pontos
Qual é o caminho mais curto?
Se considerarmos dois pontos, A e B, sempre é possível tomar vários caminhos (trajetórias) para ligá-los.
Na imagem abaixo, cada linha A com B tem um comprimento. Qual é o caminho mais curto para ir de A até B?
O caminho mais curto para ir de A até B é o segmento de reta AB. Sua medida é chamada distância entre dois pontos entre os pontos A e B.
A distância entre dois pontos A e B quaisquer do plano, tais que A(X1, Y1) e B(X2, Y2), é dada por:
d(A, B) = √(x2
– x1)²
+ (y2
- y1)²
Exemplo:Encontre a distância entre os pontos A(-6,4) e B(2,1).
x1=-6 e y1=4
x2=2 e y2= 1
d(A, B) = √(x2 – x1)² + (y2 - y1)²=√(2-(-6))²+(1-4)²=√73
Distância entre um ponto e uma reta
Qual é o segmento mais curto?
O mais curto dos segmentos que ligam P a um ponto da reta r é o segmento PC, já que a reta PC é perpendicular à reta r. A medida do segmento PC é chamada distância entre o ponto P e a reta r.
Logo, a distância de um ponto (P) e uma reta r é a medida do segmento de extremidades em P e C, onde C é a projeção ortogonal de P sobre r.
Exemplo
Determine a distância entre o ponto A(3,5) e a reta r, de equação x + 2y - 8 = 0.
Calculamos o coeficiente angular de r:
x + 2y - 8 = 0 => 2y = -x + 8 => y= -1/2x+4
m = - 1/2
Equação da reta s:
m1 = - 1/m = - 1 = 2
-1/2
y - y1 = m1(x - x1) => y - 5 = 2(x - 3) => y - 5 = 2x - 6 => 2x - y -1 = 0 (equação geral da reta)
Coordenadas de A: são aquelas do ponto de encontro de r e s:
{ x + 2y - 8 = 0
{2x - y - 1 = 0 (.2) (resolvendo o sistema pelo método da adição)
Temos: 5x - 10 = 0 => 5x = 10 => x = 2
Substituindo na segunda equação, temos:
2(2) - y - 1 = 0 => y = 3
Portanto, A'(2,3)
Cálculo da distância entre A e A':
d= √(3 - 2)² + (5 - 3)² = √5
Logo, a distância entre o ponto A e a reta r é √5.
Distância entre duas retas paralelas
Se tomarmos em r dois pontos quaisquer, A e B, notaremos que a distância entre A e s (dada pelo segmento AX) é igual à distância entre B e s (dada pelo segmento BY). AX = BY
A medida de AX (ou de BY) é a distância entre as retas r e s.