Resolução:
1 mês: 2000 + 10% de 2000 = 2000 + 200 = 2200,00
2 meses: 2200 + 10% de 2200 = 2200 + 220 = 2420,00
3 meses: 2420 + 10% de 2420 = 2420 + 242 = 2662,00
4 meses: 2662 + 10% de 2662 = 2662 + 266,20 = 2928,20
5 meses: 2928,20 + 10% de 2928,20 = 2928,20 + 292,82 = 3221,02
O valor da dívida será de R$ 3221,01
Observe que, se dividirmos cada acréscimo (o maior pelo maior), encontraremos 1,1, como resultado da razão, que é chamada razão da sequência (indicada por q). Generalizando para uma sequência com n termos, temos:
a1 = 2000
r= 1,1
a6 = ? (depois de 5 meses estamos no 6º mês, por isso devemos calcular a6).
Para resolver este tipo de problema, utilizamos a fórmula do termo geral de uma P.G.
an = a1 . q^(n-1)
Logo:
a6 = 2000 . (1,1)⁵ => 3221,02
A dívida será de 3.221,02.
Definição: P.G. é uma sequência numérica onde cada termos, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante (chamada razão).
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Ou PG, é toda sequência de números não nulos em que cada um deles, multiplicados por um número fixo(razão da progressão), resulta no próximo número da seqência(termos da progressão).
Exemplo:
1) A sequência (2, 10, 50, 250) é uma PG de quatro termos, em que o 1º termo é a1=2 e a razão q=5, pois:
a1=2
a2=10 (10=2.5)
a3=50 (50=10.5)
a4=250 (250=50.5)
an = a1 . q^n-1
Se a população de um país cresce 3% ao ano, quanto crescerá em 10 anos?
Taxa de crescimento relativo à 10 anos: I
Taxa de crescimento: i = 3% = 0,03
População inicial: Po
População após 1 ano: Po(1+0,03)
População após 2 anos: Po(1 + 0,03)³
...
População após 10 anos: Po(1+0,03)^10
Logo: 1 + I = (1+10)^10
1 + I = (1 + 0,03)^10 --> 1 + I= (1,03)^10 --> 1 + I= 1,3439... ---> I = 1,3439 - 1 = 0,3439 em porcentagem 0,3439 . 100 = 34,39%
Portanto, a população crescerá aproximadamente 34,39% em 10 anos.
Exemplo:
Uma empresa produziu 20000 unidades de certo produto no primeiro trimestre de 1999. Quantas unidades foram produzidas no ano de 1999, sabendo-se que a produção aumentou 20% a cada trimestre?
a1 = 20.000
i= 20% = 0,20 (taxa de crescimento)
q= 1 + i = 1+0,20 = 1,20 (razão)
n = 4 trimestres (tempo)
Sn = (20.000(1,20)^4 - 1)/ (1,20 - 1)
Sn = (20.000(1,0736))/0,2
Sn = 107.360 unidades
Soma dos termos de uma PG infinita
S = a1 / 1-q
Exemplo:
Uma bola de borracha cai de uma altura a. Após chocar-se com o solo, atinge uma altura igual a 2/3 da anterior e este valor se mantém nos choques subsequentes. Quanto a bola percorrerá até que pare?
Como a altura é igual a 2/3 e se mantém, a razão q=2/3.
Como não sabemos qual é a altura a, e como a bola volta a subir, então temos a.2/3, então a1=2a/3, logo:
Exemplo:
1) A sequência (2, 10, 50, 250) é uma PG de quatro termos, em que o 1º termo é a1=2 e a razão q=5, pois:
a1=2
a2=10 (10=2.5)
a3=50 (50=10.5)
a4=250 (250=50.5)
Fórmula do termo geral de uma PG
Em uma PG, de razão q, partindo do 1º termo, para avançar um termo basta multiplicar o 1º termo pela razão q (a2=a1 . q); para avançar dois termos, basta multiplicar o 1º termo duas vezes pela razão q (a3=a1 . q²); para avançar três termos basta multiplicar três vezes o 1º termo pela razão q(a4=a1 . q³) e assim por diante. Logo, podemos escrever:an = a1 . q^n-1
Equivalência de taxas
Frente ao seguinte problema:Se a população de um país cresce 3% ao ano, quanto crescerá em 10 anos?
Taxa de crescimento relativo à 10 anos: I
Taxa de crescimento: i = 3% = 0,03
População inicial: Po
População após 1 ano: Po(1+0,03)
População após 2 anos: Po(1 + 0,03)³
...
População após 10 anos: Po(1+0,03)^10
Logo: 1 + I = (1+10)^10
1 + I = (1 + 0,03)^10 --> 1 + I= (1,03)^10 --> 1 + I= 1,3439... ---> I = 1,3439 - 1 = 0,3439 em porcentagem 0,3439 . 100 = 34,39%
Portanto, a população crescerá aproximadamente 34,39% em 10 anos.
Soma dos termos de uma PG finita
Uma empresa produziu 20000 unidades de certo produto no primeiro trimestre de 1999. Quantas unidades foram produzidas no ano de 1999, sabendo-se que a produção aumentou 20% a cada trimestre?
a1 = 20.000
i= 20% = 0,20 (taxa de crescimento)
q= 1 + i = 1+0,20 = 1,20 (razão)
n = 4 trimestres (tempo)
Sn = (20.000(1,20)^4 - 1)/ (1,20 - 1)
Sn = (20.000(1,0736))/0,2
Sn = 107.360 unidades
Soma dos termos de uma PG infinita
S = a1 / 1-q
Exemplo:
Uma bola de borracha cai de uma altura a. Após chocar-se com o solo, atinge uma altura igual a 2/3 da anterior e este valor se mantém nos choques subsequentes. Quanto a bola percorrerá até que pare?
Como a altura é igual a 2/3 e se mantém, a razão q=2/3.
Como não sabemos qual é a altura a, e como a bola volta a subir, então temos a.2/3, então a1=2a/3, logo:
a+2.2a=5a